25.2. Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида ⁰/₀ и ^∞ /_∞ —, который основан на применении производных.

Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ⁰/₀).

Пусть функции ƒ(х) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ и обращаются в нуль в этой точке: ƒ(х₀)=φ(х₀)=0. Пусть φ'(х)¹ 0 в окрестности точки х₀. Если существует предел

▲Применим к функциям ƒ(х) и φ(х) теорему Коши для отрезка [х₀;х], лежащего в окрестности точки x₀ . Тогда

где с лежит между х₀ и х (рис. 144). Учитывая, что ƒ(х₀)=φ(х₀)=0, получаем

При х®х₀, величина с также стремится к х₀; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:

Так как

Поэтому

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания :

1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции ƒ(х) и φ(х) не определены при х=х₀, но

Достаточно положить

2.  Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х®∞. Действительно, положив х=1/z, получим

3.  Если производные ƒ'(х) и φ'(х) удовлетворяют тем же условиям, что и функции ƒ(х) и φ(х), теорему 25.4 можно применить еще раз:

и т. д.

<< Пример 25.2

<< Пример 25.3

Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида 0/0. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида ∞/∞.

Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ∞/∞).

Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ (кроме, может быть, точки х₀). в этой окрестности

φ'(х)¹ 0. Если существует предел

<< Пример 25.4

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ^∞/_∞, которые называют основными. Неопределенности вида 0•∞ ,∞-∞ , 1 ^∞ , ∞ ⁰ , 0° сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1.  Пусть ƒ(х)®0, φ(х)® ∞ при х®х₀. Тогда очевидны следующие преобразования:

Например,

2.  Пусть ƒ(х)® ∞ , φ(х)® ∞ при х®х₀. Тогда можно поступить так:

На практике бывает проще, например,

 

 

3.  Пусть или ƒ(х)®1 и φ(х)® ∞ , или ƒ(х)® ∞ и φ(x)®0, или ƒ(х)®0 и φ(х)®0 при х®х₀. Для нахождения предела вида  limƒ(х)^φ(х) при х ®х₀ удобно сначала прологарифмировать выражение А=ƒ(х)^φ(х).

<< Пример 25.5

<< Пример 25.6

<< Пример 25.7

25.3. Возрастание и убывание функций

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция ƒ(х) возрастает (убывает), то ƒ'(х)≥0 (ƒ"(х)≤0) для " x є (a;b).

Пусть функция ƒ(х) возрастает на интервале (α;b). Возьмем произвольные точки х и х+∆х на интервале (α;b) и рассмотрим отношение

Функция ƒ(х) возрастает, поэтому если ∆х>0, то х+∆х>х и ƒ(х+∆х)>ƒ(х); если ∆х<0, то х+∆х<х и ƒ(х+∆х)<ƒ(х). В обоих случаях

так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки.

 

По условию теоремы функция ƒ(х) имеет  производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,

Аналогично рассматривается случай, когда функция ƒ (х) убывает на интервале (a;b).

Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой х₀) параллельны оси Ох.

Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)<0) для " x є (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Пусть ƒ'(х)>0. Возьмем точки х₁ и х₂ из интервала (a;b), причем x₁<х₂. Применим к отрезку [x₁;x₂] теорему Лагранжа: ƒ(х₂)- ƒ(x₁)=ƒ'(с)(х₂-x₁), где с є (x₁;x₂). По условию ƒ'(с)>0, х₂-х₁>0. Следовательно, ƒ(х₂)-ƒ(х₁)>0 или ƒ(х₂)>ƒ(х₁), т. е. функция ƒ(х) на интервале (a;b) возрастает.

Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 102).

<< Пример 25.8

25.4.  Максимум и минимум функций

Точка х₀ называется точкой максимума функции у=ƒ(х), если существует такая d -окрестность точки х₀, что для всех х≠х₀ из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х)<ƒ(х₀).

Аналогично определяется точка минимума функции: x₀ — точка минимума функции, если $d >0 " х: 0<|x-x₀|<d Þ ƒ(х)>ƒ(х₀). На рисунке 146 х₁ — точка минимума, а точка х₂ — точка максимума функции у=ƒ(х).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю: ƒ'(х₀)=0.

Пусть, для определенности, x₀ — точка максимума. Значит, в окрестности точки х₀ выполняется неравенство ƒ(х₀)>ƒ(х₀+∆х). Но тогда

,

если ∆х>0, и ∆у/∆х>0, если ∆х<0.

По условию теоремы производная

существует. Переходя к пределу, при ∆х®0, получим ƒ'(x₀)≥0, если ∆х<0, и f'(х₀)≤0, если ∆х>0. Поэтому ƒ'(х₀)=0. Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8, если х₀ — точка минимума функции ƒ(х).

Геометрически равенство ƒ'(х₀)=0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у=ƒ(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147).

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если ƒ'(х₀)=0, то это не значит, что х₀-

точка экстремума. Например, для функции у=х³ ее производная у'=3х² равна нулю при х=0, но х=0 не точка экстремума (см. рис. 148).

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.  Например,  непрерывная  функция  у=׀ х׀ в точке  х=0 производной не имеет, но точка х=0 — точка минимума  (см. рис. 149).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются кри тическими.

Теорема 25.9(достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой d -окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее (слева направо) производная ƒ'(х) меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума; с минуса на плюс, то х₀ — точка минимума.

▲Рассмотрим d -окрестность точки х₀. Пусть выполняются условия: ƒ'(х)>0 " xє(х₀-d ;х₀) и ƒ'(х)<0 " xє(х₀;х₀+d ). Тогда функция ƒ(х) возрастает на интервале (х₀-δ; х₀), а на интервале (х₀; х₀+d ) она убывает. Отсюда следует, что значение ƒ (х) в точке x₀ является наибольшим на интервале (х₀-δ;х₀+δ), т. е. ƒ(х)<ƒ(х₀) для всех хє(х₀-d ;x₀)U(x₀;x₀+d ). Это и означает, что х₀ — точка максимума функции.

Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 представлена на рисунке 150.

Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда ƒ'(х)<0 " xє(х₀-d ;х₀) и ƒ'(х)>0 " xє(х₀;х₀+d ).▼

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1)  найти критические точки функции у=ƒ(х);

2)  выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3)  исследовать знак производной ƒ'(х) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4)  в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

<< Пример 25.9

Теорема 25.10. Если в точке х₀ первая производная функции ƒ(х) равна нулю (ƒ'(х₀)=0), а вторая производная в точке х₀ существует и отлична от нуля (ƒ"(х₀)¹ 0), то при ƒ"(х₀)<0 в точке х₀ функция имеет максимум и минимум — при ƒ"(х₀)>0.

▲Пусть для определенности ƒ"(х₀)>0. Так как

тов достаточно малой окрестности точки х₀. Если ∆х<0,

то ƒ'(х₀+∆х)<0; если ∆х>0, то ƒ'(х₀+∆х)>0.

Таким образом, при переходе через точку x₀ первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, х₀ есть точка минимума.

Аналогично доказывается, что если ƒ"(х₀)<0, то в точке х₀ функция имеет максимум.▼

25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x₀ отрезка [а;b], либо на границе отрезка, т. е. при х₀=а или х₀=b. Если х₀є(а;b), то точку х₀ следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а;b]:

1)  найти критические точки функции на интервале (а;b);

2)  вычислить значения функции в найденных критических точках;

3)  вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х=а и х=b;

4)  среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция у=ƒ (х) на отрезке [а;b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 ƒ(х₀)=ƒ_нб=ƒ_мах (нб — наибольшее, max — максимальное).

2. Если функция у=ƒ (х) на отрезке [а;b] не имеет критических точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) — на другом.

<< Пример 25.10

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование.

Рассмотрим более простую задачу.

<< Пример 25.11

См. также

Оглавление |