Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда, как видно из рисунка 153, , а потому объем цилиндра

где  хє[0;2R].

Находим наибольшее значение функции V=V(x) на промежутке [0;2p]. Так как V'(x)=pR²-3/4pх², то V'(x)=0 при  , кроме того, V"(x)=-3/4pх<0. Поэтому  — точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный V_max) при  диаметр основания цилиндра равен

Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную, и диаметр, равный  

---