Курс высшей математики

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Лекция 28

Ссылки

§ 33. Интегрирование иррациональных функций
    33.1. Квадратичные иррациональности
    33.2. Дробно-линейная подстановка
    33.3. Тригонометрическая подстановка
    33.4. Интегралы типа  ∫R(x; √ax² + bx + с) dx
    33.5. Интегрирование дифференциального бинома
§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы

 

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим обpaзoм: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

Пример 33.1. Найти интегралы

Решение: Так как,

то

Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда

 

Пример 33.2. Найти интеграл

Решение: Так как 6-2х-х²=-(х²+2х-6)=-((х+1)²-7)=7-(х+1)², то подстановка имеет вид х+1=t, х=t-1, dx=dt. Тогда

Интегралы типа , где Р_n(х) - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой

где Q_n-1(x) - многочлен степени n-1 с неопpедeлeнными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.

 

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.

 

Пример 33.3.  Найти интеграл

Решение: По формуле (33.1) имеем:

Дифференцируя это равенство, получаем:

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Отсюда А=-1/2,B=3/2,l=2. Следовательно,

Интегралы типа  где а, b, с, d - действительные числа, a,b,...,d,g - натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки где К - наименьшее общee кратное знаменателей дробей

Действительно, из подстановки следует, что и

т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби  выражается через рациональную функцию от t.

 

Пример 33.4.  Найти интеграл

Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.

Поэтому полагаем х+2=t⁶, х=t⁶-2, dx=6t⁵ dt, Следовательно,

 

Пример 33.5.  Указать подстановку для нахождения интегралов:

Решение: Для I₁ подстановка х=t², для I₂ подстановка

Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а•sint для первого интеграла; х=а•tgt для второго интеграла; для третьего интеграла.

 

Пример 33.6.  Найти интеграл

Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х иВыделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку, интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже pасcмoтpeннoгo типа, т. е. к интегралам типа  Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

 

Пример 33.7.  Найти интеграл

Решение: Так как х²+2х-4=(х+1)²-5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. ПоэтомуПоложим

Тогда

Замечание: Интеграл типа целессooбразно находить с помощью подстановки х=1/t.

Интегралы типа(называемые интегралами от дифференциального бинома),где а, b - действительные числа; m, n, р - рациональные числа, берутся, как показал Чебишев П.А., лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел р, (m+1)/n  или (m+1)/n+р является целым.

Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:

1) если р - целое число, то подстановка х=t^k, где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2)  если   (m+1)/n - целое число, то подстановка где s —знаменатель дроби р;

3)  если (m+1)/n+р - целое число, то подстановкагде s - знаменатель дpоби р.

Во всех остальных случаях интегралы типане выражаются через известные элементарные функции,т. е. «не берутся».

 

Пример 33.8.  Найти интеграл

Решение: Так как

то    

Поэтому делаем подстановку

Таким образом,

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от cоo6paзительности, от трениpoвaннocти. Например, можно найти, не используя рекoмeндyeмyю подстановку tgx=t, а применив искусственный прием:

Вряд ли стоит вычислять интеграл

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дpоби:

 

Заметив, что числитель 3x²+4х+1 является производной знаменателя х(х²+2х+1)=х³+2х²+х, легко получить:

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что«берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интегралтак как не существует элементарной фyнкции, производная от которой была бы равна  Приведем еще примеры «небepyщиxcя» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях:

   - интеграл Пуассона (теория вероятностей),

- интегральный логарифм (теория чисел),

- интегралы Френеля (физика),

 - интегральные синус и косинус,

 - интегральная показательная функция.

Первooбразные от функциии других хорошо изучены, для них составлены пoдpобныe таблицы значений для различных значений аргумента х.