18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

18.1. Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х®х_о, т. е.

 и

1. Если =А¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если  не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х ®±∞, х ®х₀±0.

<< Пример 18.1

<< Пример 18.2

<< Пример 18.3

<< Пример 18.4

18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если   то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х®x₀); это обозначается так: α~ß.

Например, sinx~х при х®0, т.к   при x®0, т. к.

Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

  т. е.   Отсюда    т. е. α~ß. Аналогично,   если то α~ß.

Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть α®0, ß®0 при х®х_о, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е.  . Тогда

Следовательно, α+ß~ß при х®х₀.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

<< Пример 18.5

18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х®0, tgx~х при х®0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

<< Пример 18.6

<< Пример 18.7

<< Пример 18.8
 

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. sinx~х при х®0;
2. tgx~х (х®0);
3. arcsinх ~ х (х®0);
4. arctgx~х (х®0);
5. 1-cosx~x²/2 (х®0);
6. е^х-1~х (х®0);
7. α^х-1~х*ln(a) (х®0);
8. ln(1+х)~х (х®0);
9. log_a(l+х)~х•log_aе (х®0);
10. (1+х)^k-1~k*х, k>0 (х®0);

<< Пример 18.9

<< Пример 18.10

<< Пример 18.11

18.4 Приближенные вычисления

Если α~ß, то, отбрасывая в равенстве α=ß+(α-ß) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. α ® ß, получим приближенное равенство α≈ß.

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х.

Например, графики функций y=tgx и y=x в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у=sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у=х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

<< Пример 18.12

19.  НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

19.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2)  функция ƒ(х) имеет предел при х®х_о;

3)  предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как    то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение х_о.

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции е^x _. 

<< Пример 19.1

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку х_оє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-х_о называется приращением аргумента х  в точке х₀ и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x₀. Отсюда х=х₀+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х₀)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х₀) или ∆у=ƒ(х₀+∆х)-ƒ(х₀) (см. рис. 119).

Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х®х₀ и х-х₀®0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид  или

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непре-рывности функции в точке: функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

<< Пример 19.2

19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).

19.3. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀ — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

Например, функция у1/(x-2)  не определена в точке х₀=2 (см. рис. 120).

2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х®х₀. Например, функция

определена в точке х₀=2    (ƒ(2)=0), однако в точке х₀=2 имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х®2:

3. Функция  определена в  точке  х₀ и  ее  окрестности,  существует но  этот  предел  не  равен  значению   функции  в  точке x₀:

Например, функция (см. рис. 122)

Здесь x₀=0 — точка разрыва:  a g(х₀)=g(0)=2.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

 

При этом:

а) если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;
б) если А₁≠А₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину |A₁-А₂| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). у=1/(x-2)  x₀=2 -точка разрыва второго рода.

2. Для функции

х₀=2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен |1-0|=1.

3. Для функции

х₀=0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(х)=1 (вместо g(х)=2) при х=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной

<< Пример 19.3

 

См. также

Оглавление |