§45. касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z=ƒ(х;у) дифференцируема в точке (х₀;у₀) некоторой области D є R². Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями х=х₀ и у=у₀ (см. рис. 209).

Плоскость х = х₀ пересекает поверхность S по некоторой линии z_o(y), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z=ƒ(х;у) вместо х числа х₀. Точка принадлежит кривой z_o(y). В силу дифференциру-емости функции z в точке М_о функция z_o(y) также является дифференцируемой в точке у=у₀. Следовательно, в этой точке в плоскости х=х₀ к кривой z₀(y) может быть проведена касательная l₁.

Проводя аналогичные рассуждения для сечения y=y₀ построим касательную l₂ к кривой z_о(х) в точке х=х₀. Прямые l₁ и l₂ определяют плоскость а, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке Мо.

Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку М₀(х₀;у₀;z₀), то ее уравнение может быть записано в виде

которое можно переписать так:

     (45.1)

(разделив уравнение на —С и обозначив

Найдем A₁ и B_1.

Уравнения касательных l₁ и l₂ имеют вид

соответственно.

Касательная l₁ лежит в плоскости а, следовательно, координаты всех точек l₁ удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно B_1, получим, что Проводя аналогичные рассуждения для касательной l₂, легко установить, что

Подставив значения A₁ и B₁ в уравнение (45.1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см. с. 87), легко получить канонические уравнения нормали:

Если поверхность S задана уравнением F(x;y;z)=0, то уравнения (45.2) и (45.3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

(см. формулы (44.12)), примут соответственно вид

и

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М_о поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

 

Пример 45.1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду вращения z = х² + у² в точке М_о(1;-1;2).

Решение: Здесь z'_x = f'x(x;y) = 2х, ƒ'y(х;у) = 2у, ƒ'x(1;-1) = 2, ƒ'y(1; -1) = -2. Пользуясь формулами (45.2) и (45.3) получаем уравнение касательной плоскости: z - 2 = 2 • (х-1)- 2 • (у +1) или 2х-2у-z-2 = 0 и уравнение нормали:

 

§46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

46.1. Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x₀;y₀) Î D.

Точка (х₀;у₀) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х₀;у₀), что для каждой точки (х;у), отличной от (х_о;у_о), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(х_о;у_о).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х₀;у₀), из d-окрестности точки (х_о;у_о) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х₀;у₀).

На рисунке 210: N₁ — точка максимума, а N₂ — точка минимума функции z=ƒ(x;у).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х₀;у₀) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х₀; у₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

 

46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у₀. Тогда получим функцию ƒ(х;у₀)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х₀) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.

Аналогично можно показать, что ƒ'_y(х₀;у₀) = 0.

Геометрически равенства ƒ'_x(х₀;у₀)=0 и ƒ'_y(х₀;у₀)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z₀ (см. формулу (45.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'_x=0, f'_y=0, называется стационарной точкой функ ции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'_x=у и z'_y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Примем без доказательства.

 

Пример 46.1. Найти экстремум функции z = 3х²у- х³ - у⁴.

Решение: Здесь z'_x=бху-3х², z'_y=3х²-4у³. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки M₁(6;3) и М₂(0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции: z''_xх=6у-6х, z''_xу=6х, z''_уy=-12у₂.

В точке М₁(6;3) имеем: А = -18, В = 36, С = -108, отсюда

АС-В²=-18•(-108)-362=648, т. е. Δ>0.

Так как А<0, то в точке М₁ функция имеет локальный максимум: z_max=z(6;3)=3•36•3-63-34=324-216-81=27.

В точке М₂(0;0): А =0, В = 0, С = 0 и, значит, Δ = 0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М₂ равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-у⁴<0 при х=0, у ≠ 0; z =-х³>0 при х<0, у=0. Значит, в окрестности точки М₂(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.

46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.

Пример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х²у + ху² + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = ¹/_x, х = 1, х = 2, у = -1,5 (см. рис. 212).

Решение: Здесь z'_x=2ху+у²+у, z'_y=х²+2ху+х.

1. Находим все критические точки:

   
   

    

   Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .

2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 212).
   На участке АВ:
    
   Значения функции z(-1) = -1,
   
   
   На участке ВС:
   Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5.
   
   На участке СЕ:
   z'_y=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2.
   Значения функции
   На участке АЕ:
   
    Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5.
3. Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 = z(2;1/2) =z(С); а m=-4,5=z(2;-3/2)=z(E).

 

 

См. также

Оглавление | Лекция 35