27. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

27.1.  Основные понятия

Комплексным числом z называется выражение вида z=х+iу, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, i²=-1.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если у=0, то число х+i0=х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. e. RÌС.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х=Re z, а у — мнимой чαстпъю z, у = Im z.

Два комплексных числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называются равными (z₁=z₂) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х₁=х₂, y₁=у₂. В частности, комплексное число z=х+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z=х+iy и z=х-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

27.2.   Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости Оху такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мни мые комплексные числа z=0+iy.

Комплексное число z=х+iy можно задавать с помощью радиус-вектора r=ОМ=(х;у). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2pk (k=0,-1,1,-2,2...): Argz = argz + 2pk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—p;p], т. е. —p<argz≤p (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2p)).

27.3. Формы записи комплексных чисел

Запись числа z в виде z=х+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент φ комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора r=ОМ, изображающего комплексное числоz=х+iy (см. рис. 162). Тогда получаем х=rcosφ, у=rsinφ. Следовательно, комплексное число z=х+iy можно записать в виде z=rcosφ+irsinφ или  z=r(cosφ+isinφ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Например, |i|=Ö(0²+1²)=1. Аргумент φ определяется из формул

Так как

φ=Argz=argz+2kp,

то

cosφ=cos(argz+2kp)=cos(argz),    sinφ=sin(argz).

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать φ=argz.

Так как -p<argz≤ p, то из формулы tgφ=у/х  получаем,что

 

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно (см. рис. 163). Например, argz₁=0 для z₁=2; argz₂=p

для z₂=-3; arg z₃=p/2 для z₃=i и arg z₄=-p/2 для z₄=-8i.

Используя формулу Эйлера

е^iφ=cosφ+isinφ, комплексное число z=r(cosφ+isipφ) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=rе^iφ, где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол φ=Argz=argz+2kp (k=0,-1,1,-2,2...).

В силу формулы Эйлера, функция е^iφ периодическая с основным периодом 2p. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать φ=argz.

<< Пример 27.1

28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

28.1. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).                             (28.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

• z₁+z₂=z₂+z₁
• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃).

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|. Это соотношение называется неравенством треугольника.

28.2 Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z₂, дает число z_l т. е. z=z₁-z₂, если z+z₂=z₁.

Если z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂, то из этого определения легко получить z:

z=z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂).                          (28.2)

Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁-z₂|≥|z₁|-|z₂|. Отметим, что

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z₀=2i, т. е. окружность с центром в z₀=2i и радиусом 1.

См. также

Оглавление |