Лекция № 6   

5.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение

где р и q - некоторые числа.

Согласно теореме 5.1, общее решение уравнения (5.10) представляет собой сумму общего решениясоответствующего однородного уравненияи частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (5.10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (п. 5.2).

Для уравнений с постоянными коэффициентами (5.10) существует более простой способ нахождения у*, если правая часть ƒ(х) уравнения (5.10) имеет так называемый «специальный вид»:

I. или

II.

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части ƒ(х) уравнения (5.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (5.10) имеет видгде а є R, Р_n(х) - многочлен степени n. Уравнение (5.10) запишется в виде

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

где r - число, равное кратности а как корня характеристического уравнения (т.е. r - число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения - многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами А_i (i=l,2,...,n).

а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения т. е.Следовательно,

После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (5.11), сокращения на, получим:

Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов А_о, А₁,..., А_n.

б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

В этом случае искать решение в форменельзя, т. к. и уравнение (5.13) принимает вид

В левой части - многочлен степени (n-1), в правой части - многочлен степени n. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (n+1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде (в равенстве (5.12) положить r=1).

в) Пусть а является двукратным корнем характеристического уравнения k²+рк+q=0, т. е. а=k₁=k₂. В этом случае а²+ра+q=0 и 2а+р=0, а поэтомy уравнение (5.13) принимает вид

Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение у* следует искать в виде

(в равенстве (5.12) положить r=2).

Случай 2. Правая часть (5.10) имеет вид

где Р_n(х) и Q_m(x) - многочлены степени n и m соответственно, а и β - действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (5.14) следует искать в виде

где r - число, равное кратности а+βi как корня характеристического уравнения - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов Р_n(х) и

Замечания.

1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (5.15) сохраняется и в случаях, когда

3. Если правая часть уравнения (5.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении решений.

Пример 5.2. Найти общее решение уравнения

Решение: Найдем общее решениеЛОДУХарактеристическое уравнение k²-2k+1=0 имеет корень k₁=1 кратнoсти 2. Значит, Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида  причем а=0, не является корнем характеристического уравнения: . Поэтому, согласно формуле (5.12), частное решение у* ищем в виде   - неопределенные коэффициенты. Тогда Подставив в исходноеуравнение, получимПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Отсюда А=1, В=-2. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид у* =х-2. Следовательно, искомое общее решение уравнения.

Пример 5.3. Решить уравнение

Решение: Общее решение ЛНДУ имеет видНаходим решение однородного уравнения Характеристическое уравнение k² - 4k+13=0 имеет корни k₁=2+Зi, k₂=2-3i. Следовательно,

Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем случае имеет вид   Так как а=0, β=3, a+βi=3i не совпадает с корнем характеристического уравнения, то r= 0. Согласно формуле (5.15), частное решение ищем в виде Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем:

Получаем:

или

Отсюда имеем:

Следовательно, А=1, В=-3. Поэтому у*=cos3x - 3sin3x. И наконец,   - общее решение уравнения.

Пример 5.4. (Для самостоятельного решения.) Для предложенных дифференциальныхуравнений получить вид частного решения:

5.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го (n > 2) порядка

где a₁(x), a₂(x),..., a_n(x), ƒ(х) - заданные непрерывные функции на (a;b). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид

Теорема 5.3 (о структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка). Общее решение у ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного уравнения и общего решениясоответствующего ему однородного уравнения, т. е.

Частное решение у* ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если известно общее решение однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде

где- частные решения, образующие фундаментальную систему, однородного уравнения.

Система уравнений для нахождения неизвестных с_i(х) имеет вид

однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Метод подбора частного решения у* уравнения

где p_i - числа, а правая часть ƒ(х) имеет специальный вид, описанный в п. 5.3 для случая n=2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок n>2.

Пример 5.5. Решить уравнение

Решение:Находим

Находим отсюда

Тогда-(2Ах+В)=2х. Отсюда А=-1,В=0 и получаем

Следовательно, функция

является общим решением уравнения.

§6. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

6.1. Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций у₁, у₂,..., у_n, следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (6.1).

Так, система трех ДУ второго порядка

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: приводится к нормальной системе ДУ:

Уравнение третьего порядка путем замены   сводится к нормальной системе ДУ

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением  системы (6.1) называется совокупность из n функций y₁, y₂, ... ,y₃, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (6.1) имеют вид

Задача Коши для системы (6.1) ставится следующим образом: найти решение системы (6.1), удовлетворяющее начальным условиям (6.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема 6.1 (Коши). Если в системе (6.1) все функциинепрерывны вместе со всеми своими частными производными по y_i в некоторой области D ((n+1)-мерного пространства), то в каждой точкеэтой области существует, и притом единственное, решение   системы, удовлетворяющее начальным условиям (6.2).

Меняя в области D точку М_о (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от n произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (6.2) можно однозначно определить постоянные c₁, с₂,..., с_n из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных c₁, с₂,..., с_n, называется частным решением системы (6.1).

См. также

Оглавление |