3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть дано уравнение

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у^'=р(х). Тогда у^''=p^'(x) и получаем ДУ первого порядка: p^'=ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y^'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как уравнение (3.6) можно записать в виде dy^'=ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y^''=ƒ(х), получаем: y^'=или y^'=j1 (x)+с_¹. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим:- общее решение данного уравнения. Если дано уравнението, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения:

Пример 3.1. Решить уравнение

Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

Пусть дано уравнение

не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у^'=р, где р=р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у^''=p^' и уравнение (3.7) принимает вид p^'=ƒ(х;р). Пусть р=j(х;с_¹) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на y_^', получаем ДУ: y_^'=j(х;с_¹). Оно имеет вид (3.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (3.7) будет иметь вид

Частным случаем уравнения (3.7) является уравнение

не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: Получаем уравнение р'=ƒ(р) с разделяющимися переменными. Если задано уравнение вида

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y^(к)=р(х). Тогда у^(к+1)=p^'; ...; y⁽ⁿ⁾=p^(n-k) и уравнение (3.9) примет вид F(x;p;p^';... ;p^(n-κ))=0. Частным случаем уравнения (3.9) является уравнение

или

С помощью замены y^(n-1)=p(x), y⁽ⁿ⁾=p^' это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример 3.2. Решить уравнение

Решение: Полагаем у'=р, где ТогдаЭто уравнение с разделяющимися переменными: Интегрируя, получим Возвращаясь к исходной переменной, получим y'=с₁^х_,

- общее решение уравнения.

 

III. Рассмотрим уравнение

которое не содержит явно независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(y), зависящую от переменной у, полагая у'=р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р =р(у(х)):

т. е.Теперь уравнение (3.10) запишется в виде

Пусть р=j(y;с₁) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(y) на y', получаем y'=j(y;с^₁) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (3.10):

Частным случаем уравнения (3.10) является ДУ

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у^'=p(у),

Так же поступаем при решении уравнения F(у; у^'; у'';...; у⁽ⁿ⁾)=0. Его порядок можно понизить на единицу, положив y'=р, где р=р(y). По правилу дифференцирования сложной функции находимЗатем найдем

Замечание. Уравнение (3.8) также можно решать, применяя подстановку у'=р, где р=р(y).

 

Пример 3.3. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение: Уравнение имеет вид (3.10). Положив получаем:Так как р≠0 (иначе у'=0, что противоречит начальному условию у'=2), то- получили линейное ДУ первого порядка.

Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 2.4). Полагаем р=u•v. Имеем: u'v+uv'-uv+у-1=0, или u'v+u(v'-v)=1-у.

Подберем функцию v так, чтобы v^'-v=0. Тогда Получаем:

Интегрируя это равенство, находим, что u=-(1-у)•е^-y+е^-у+c₁.

Следовательно,

р=uv=((-1+у)е^-y+е^-у+c₁)•е+у, или р=c₁ey+у. Заменяя р на у_^', получаем: у'=c₁-e^y+у. Подставляя y'=2 и у=2 в это равенство, находим с₁:

2=c₁e²+2,  c₁=0.

Имеем у'=у. Отсюда у=с₂е^х. Находим с₂ из начальных условий: 2=с₂е°, с₂=2. Таким образом, у=2e^x - частное решение данного

ДУ.

3.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида

где b_o(x) ≠ 0, b₁(x),..., b_n(x), g(x) - заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции b_o(x), b₁(x),..., b_n(x) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция g(x) - его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение (3.11) называется линейным однородным уравнением; если g(x) ≠ 0, то уравнение (3.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (3.11) на b_o(x) ≠ 0 и обозначив

запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. теорему. 3.1).

3.4. Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка:

и установим некоторые свойства его решений.

Подставим функцию у=c₁y₁+с₂у₂ и ее производные в левую часть ЛОДУ (3.13). Получаем:

так как функции y₁ и у₂ - решения уравнения (3.13) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.

Таким образом, функция у=c₁y₁+c₂y₂ также является решением уравнения (3.13).

Из теоремы 3.2, как следствие, вытекает, что если y₁ и у₂ - решения уравнения (3.13), то решениями его будут также функции у=y₁+y₂ и у=cу₁.

Функция (3.14) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (3.13). Может ли она являться общим решением уравнения (3.13)?

Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции y₁=y₁(x) и у₂=у₂(х) называются линейно независимыми на интервале (а;b), если равенство

где a₁,a₂ є R, выполняется тогда и только тогда, когда a₁=a₂=0.

Если хотя бы одно из чисел a₁ или а₂ отлично от нуля и выполняется равенство (3.15), то функции у₁ и у₂ называются линейно зависимыми на (а;b).

Очевидно, что функции y₁ и у₂ линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех х є (a;b) выполняется равенртвоилиНапример, функции y₁=3е^х и у₂=е^х линейно зависимы: y1/y2=3=const; функции y₁ и у₂=е^2x - линейно независимы:   функции у₄=sin х и у₅=cos x являются линейно независимыми: равенство a₁ sin x+а₂ cos х=0 выполняется для всех х є R. лишь при a₁=а₂=0 

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский - польский математик).

Для двух дифференцируемых функций y₁=y₁(x) и у₂=у₂(х) вронскиан имеет вид

Имеют место следующие теоремы.

Так как функции y₁ и у₂ линейно зависимы, то в равенстве (3.15) значение a₁ или а₂ отлично от нуля. Пусть a₁≠0, тогда поэтому для любого х е (а;b)

Доказательство теоремы опустим.

Из теорем 3.3 и 3.4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений у₁(х) и у₂ (х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация у=a₁y₁(x)+a₂y₂(x).

Пример 3.4. Частные решения у₁=sinx и у₂=cosx, у₃=2sinx и у₄=5cosx (их бесчисленное множество!) уравнения у''+у=0 образуют фундаментальную систему решений; решения же у₅=0 и у_б=cosx - не образуют.Теперь можно сказать, при каких условиях функция (3.14) будет общим решением уравнения (3.13).

Согласно теореме 3.2, функция (3.16) является решением уравнения (3.13). Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

где х_о є (a;b).

Подставив начальные условия (3.17) в решение (3.14), получим систему уравнений

где у_о=у(х_о), у_о=у'(х_о), с неизвестными с₁ и с_2. Определитель этой системы

равен значению вронскиана W(x) при х=х_о.

Так как решения y1(x) и у₂(х) образуют фундаментальную систему решений на (а; b) и хо є (а;b), то, согласно теореме 3.4, W(x₀)≠0. Поэтому система уравнений имеет единственное решение:

Решение у=c⁰₁y₁(x)+c_⁰2y_²(x) является частным решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (3.13), удовлетворяющим начальным условиям (3.17). Теорема доказана.

Пример 3.5. На основании теоремы 3.5 общим решением уравнения у"+у=0 (см. пример 3.4) является функция у=c₁sinx+с₂cosx.

3.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка

Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

1. Если функции у₁=y₁(x),y₂=у₂(х),... ,у_n=у_n(х) являются частными решениями уравнения (3.18), то его решением является и функция У=c₁y₁+с₂у₂+...+с_nу_n.

2. Функции у₁, у₂,..., у_n называются линейно независимыми на (а;b), если равенство a₁y₁+а₂у₂+..+a_nу_n=0 выполняется лишь в случае, когда все числа а_i=0 (i=1,2, ...,n); в противном случае (если хотя бы одно из чисел оц не равно нулю) функции у₁, у_2,..., у_n - линейно зависимы.

3. Определитель Вронского имеет вид

4. Частные решения y₁,y₂,...,y_n уравнения (3.18) образуют фундаментальную систему решений на (а;b), если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. W(x) ≠ 0 для всех х є (a; b).

5. Общее решение ЛОДУ (3.18) имеет вид у=c₁y₁+с₂у_{2 +...+}c_ny_n,

где c_i (i=1,... ,n) - произвольные постоянные, yi- частные решения уравнения (3.18), образующие фундаментальную систему.

Пример 3.6. Показать, что функции образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).

Решение: Найдем W(x):

Ясно, что W(x)≠0 для всех х є R. Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:

Подставив функции у₁,y₂,y₃ в это уравнение, получим систему из трех уравнений относительно функций а₁(х), а₂(х), а₃(х). Решая ее, получим ЛОДУего общее решение:

См. также

Оглавление |