Лекция № 3   

2.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнение

P(x;Y)dx+Q(x;y)dY=0     (2.17)

называется ypaвнeниeм в пoлныx диффepeнциaлax, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции υ(х; υ), т. е.

P(x;у)dx+Q(x;у)dу=du(x;y).

В этом случае ДУ (2.17) можно записать в виде du(x;y)=0, а его общий интеграл будет:

u(x;у)=c.             (2.18)

Приведем условие, по которому можно судить, что выражение

∆=P(x;Y)dx+Q(x;y)dy есть полный дифференциал.

Теорема 2.2. Для того чтобы выражение Δ=Р(х;у)dx+Q(x;у)dу, где функции Р(х; у) и Q(x; у) и их частные производныенепрерывны в некоторой области D плоскости Охυ, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

Необходимость

Пусть Δ есть полный дифференциал, т. е.

Учитывая, что (см. Часть 1, п. 44.3), имеем:

Дифференцируя эти равенства по υ и по х соответственно, получаем

А так как смешанные частные производные равны между собой (см. Часть 1, п. 44.2), получаем (2.19).

Достаточность

Пусть в области D выполняется условие (2.19). Покажем, что суще-ствует функция υ(х; υ) в области D такая, что

Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:

Если в первом уравнении (2.20) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим:

Здесь произвольная постоянная с=j(υ) зависит от у (либо является числом). В решении (2.21) не известна лишь j(υ). Для ее нахождения продифференцируем функцию (2.21) по υ:

Используя второе равенство (2.20), можно записать:

Отсюда

В равенстве (2.22) левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у.Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что производная равиа нулю. Действительно,

в силу условия (2.19).

Из равенства (2.22) находим j(у):

Подставляя найденное значение для j(у) в равенство (2.21), находим функцию u(x; у) такую, что du(x; у)=Р(х; υ) dx+Q(x; у) dy.

Таким образом, при решении ДУ вида (2.17) сначала проверяем вы-полнение условия (2.19). Затем, используя равенства (2.20), находим функцию u(x;y). Решение записываем в виде (2.18).

Пример 2.11. Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме:

(2xy-5)dx+(3y²+ x²)dу=0.

Здесь Р(х;у)=2ху- 5, Q(x;y)=Зу² +х2. Проверяем выполнение условия (2.19):

Следовательно, данное уравнсиие есть уравнение в полных дифференциалах. Условия (2.20) будут здесь выглядеть как

Отсюда имеем

Далее

Общим интегралом является х²у- 5х+ у³+c₁=c₂, или х²у- 5х+у³=с, где с=с₂-с₁.

Если условие (2.19) не выполняется, то ДУ (2.17) не является уравнениєм в полных дифференциалах.

Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(х;y), называемую интeгpирующим мнoжитeлeм.

Чтобы уравнение t(х;у)•Р(х;у)dx+t(х;y)•Q(x;y)dy=0 было уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие

Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим

Для нахождения Т(х; y) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование Т как функции только одного аргумента х либо только y. Пусть, например, Т=Т(х). Тогда уравнение (2.23) принимает вид

Отсюда

При этом выражениедолжно зависеть только от х.

Аналогично получаем, что если t=t(y) (t не зависит от х), то

а подынтегральное выражение должно зависеть только от у.

Пример 2.12. Решить уравнение

Решение: Здесьоднако

зависит только от х.

Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, выражение которого может быть получено при помощи формулы (2.24). В нашем случае получим, что

Умножая исходное уравнение наполучаем:

т. е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что общий интеграл заданного уравнения имеет вид

2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро

Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа

Уравнение вида

где j и Ψ - известные функции от называется урaвнeниeм Лагранжа.

Введем вспомогательный параметр, положив у^'=р. Тогда уравне-ние (2.25) примет вид

Дифференцируя по х, получим:

т. е.или

Уравнение (2.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции х= х(р). Решив его, найдем:

Исключая параметр р из уравнений (2.26) и (2.28), получаем общий интеграл уравнения (2.25) в виде у=γ(х;с).

Отметим, что, переходя к уравнению (2.27), мы делили наПри этом могли быть потеряны решения, для которыхт. е. р=р_о=const.

Это значение р_о является корнем уравнения р-j(р)=0 (см. (2.27)).

Решеиие является осоБым для уравнения (2.25)

(см. понятие особого решения в п. 2.2).

Уравнение Клеро

Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при Уравнение (2.25) принимает вид

и называется урaвнeниeм Клеро. Положив y^'=р, получаем:

Дифференцируя по х, имеем:

Если Поэтому, с учетом (2.30), ДУ (2.29) имеет общее решение

Еслито получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Это решение - особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример 2.13. Решить уравнение Клеро

Решение: Общее решение, согласно формуле (2.31), имеет вид y=сх+с². Особое решение уравнения получаем согласно формулам (2.32) в виде

Отсюда следует:

§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

3.1. Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

Будем в основном рассматривать уравнение вида (3.2): от него всегда можно перейти к (3.1).

Решением ДУ (3.2) называется всякая функция у=j(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

ОБщим решением ДУ (3.2) называется функция у=j(х;с₁;с₂), где с₁ и с₂ - не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. j(х; с₁; с₂) является решением ДУ для каждого фиксированного значения с₁ и с₂.

2. Каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения постоянныхтакие, что функцияявляется решением уравнения (3.2) и удовлетворяет начальным условиям (3.3).

Всякое решениеуравнения (3.2), получающееся из общего решения у=j(х;с₁;с₂) при конкретных значениях постоянных называется частным решением.

Решения ДУ (3.2), записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной крнвой. Общее решение ДУ (3.2) представляет собой множество ин-тегральных кривых; частное решение - одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (х_о; у_о) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом

Переписав ДУ (3.1) в виде

видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки (х; y) интегральной кривой, угловым коэффициентом k=y^' касательной к ней и кривизнойв точке (х; y). В этом состоит

геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (3.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3.3), называется задачей Коши.

Теорема 3.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (3.2) функция ƒ(х; y; у^') и ее частные производные ƒ'_y и ƒ'_y' непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y и y', то для всякой точки существует единственное решение у=j(х) уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям (3.3).

Примем теорему без доказательства.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n-го порядка, которое в общем виде записывается как

или

если его можно разрешить относительно старшей производной. Начальные условия для ДУ (3.4) имеют вид

Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида y=j(х;с₁;с₂;...;с_n), содержащей n произвольных, не зависящих от х постоянных.

Решение ДУ (3.4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных с₁=с₀₁, с₂=с₀₂, ..., с_n=c_0n, называется частным решением.

Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (3.4), удовлетворяющее начальным условиям (3.5).

Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

См. также

Оглавление |