Курс высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Лекция 1   

Ссылки

1. МАТРИЦЫ
     1.1. Основные понятия
     1.2. Действия над матрицами
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
    2.1. Основные понятия
    2.2. Свойства определителей

 

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. МАТРИЦЫ ОС

1.1. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно,A=(aij) (i=1,m, j=1,n) i-номер строки,(т.е.i=1,2,3..m),j-номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера  m x n  и пишут Аmxn.Числа aij составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

А=В,если aij=bij  (i=1,m, j=1,n)

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n x n  называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

<< Пример 1.1

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О.

В матричном исчислении матрицы О и E играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом,

т.е. (5)1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ

 

 

 

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АТ)Т

1.2. Действия над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Amxn=(aij)  Bmxn=(bij) называется матрица Cmxn=(cij) такая, что cij=aij+bij  (i=1,m, j=1,n)

<< Пример 1.2

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы. Amxn=(aij) на число k называется матрица Bmxn=(bij),такая, что.bij=k*aij (i=1,m, j=1,n)

 << Пример 1.3

Матрица  -А = (-l)*A называется противоположной матрице А.

Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

  1. А+В=В+А
  2. А+(В+С)=(А + В) + С
  3. А+О=А
  4. А-А=О
  5. 1*А=А;
  6. а*(А+В)=аА+аВ;
  7. (а+в)*А=аА+вА
  8. а*(вА)=(ав)*А,

где А, В, С — матрицы, а и в-числа.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

 Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них       получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю.

 Такую матрицу называют канонической, например

<< Пример 1.4

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведение матрицы на матрицу называется матрица такая, что

cik=ai1*b1k+ai2*b2k+…+ain*bnk. где (i=1,m, j=1,n)

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.

Получение элемента Cik схематично изображается так:

 

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А*Е=Е*А=А, где А-квадратная матрица, Е-единичная матрица того же размера.

<< Пример 1.5

<< Пример 1.6

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:

  1. А*(В*С)=(А*В)*С;
  2. А * (В + С) = АВ + АС
  3. (А+В)*С=АС+ВС;
  4. а(АВ) = (аА)В,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства:

  1. (A+B)T=AT+BT

  2. (АВ)ТTАT  

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1. Основные понятия

Квадратной матрице А порядка N можно сопоставить число det A (или |A|), называемое ее определителем следующим образом:

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

<< Пример 2.1

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

<< Пример 2.2

2.2. Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами:

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

 Действительно,

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

<< Пример 2.3

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij

 

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и сознаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается

 Aij:  Aij=(-1)i+j*mij.

Так A11=+m11,A32=-m32.

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

<< Пример 2.4

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, a11A21+a12A22+a13A23=0.

См. также

Оглавление |

Hosted by uCoz